Blog del Tutore su Alternanza Liceo-Lavoro

P. Nason, 21/6/2016

Quest'anno abbiamo organizzato, nell'ambito INFN, uno stage per due studenti del terz'anno del liceo nel nostro gruppo di fisica teorica. Gli abbiamo affidato il compito di costruire delle pagine Web in cui descrivono la nostra attività. In altre parole, delle pagine Web che possano essere ragionevolmente rivolte verso i liceali. Gli studenti perciò intervistano i componenti del gruppo e riassumono quello che hanno capito.

Trattandosi di studenti del liceo scientifico, ho fatto qualche esperimento per vedere di far loro approfondire qualche argomento in modo un po' più concreto rispetto ai soliti argomenti un po' vaghi che utilizziamo quando spieghiamo la nostra attività ai non addetti ai lavori. In effetti il nostro lavoro non ha nulla di vago: facciamo calcoli che confrontiamo con osservazioni sperimentali.

La prima occasione si è presentata quando ho cercato di spiegare che i computer assumono un'importanza sempre più rilevante nella ricerca fondamentale. In terza Liceo, hanno appena studiato la gravitazione universale. Gli spego che se Newton fosse nato ai giorni nostri, avrebbe potuto calcolare le orbite dei pianeti con un programmino di qualche riga. Data la posizione e la velocità del pianeta $x$ e $v$ ad un certo istante $t$, si può ricavare la sua accelerazione $\vec{a} = G M \times \vec{x} / \vert \vec{x} \vert^3$, e quindi la sua posizione e velocità ad un istante successivo $t + \Delta t$:

$$\vec{x} (t + \Delta t) = \vec{x} + \Delta t \overrightarrow... ...vec{v} (t + \Delta t) = \vec{v} + \Delta t \overrightarrow{a.}$$ (1)

purchè si prenda $\Delta t$ molto piccolo, in modo che né la velocità né l'accelerazione cambino apprezzabilmente. Ripetendo quest'operazione un numero indefinito di volte, si riesce a ricostruire l'orbita. Allo Scientico-scienze applicate hanno fatto un minimo di programmazione in c. Gli suggerisco di provarci. Mi assicurano che lo faranno. Dopo un paio di giorni (non l'hanno ancora fatto) gli suggerisco di provare con un problema più semplice: l'oscillatore armonico, che hanno studiato quest'anno. Dopo poco mi mostrano il grafico di una sinusoide fatto in Excel. Indago, e sento che l'hanno ottenuto a partire dalla formula per il moto armonico. Non era proprio quello che volevo. Insisto e gli do' qualche dritta in più, scarabocchiando alla lavagna lo schema di un programmino in c. Questa volta scrivono il programma, che gli stampa sul terminale tre colonne di numeri: il tempo, la posizione e la velocità. Ma non sanno come visualizzarlo. Mi faccio spedire il programma, genero io i numeri e li visualizzo con un programmetto grafico (gnuplot). Quando appaiono le due sinusoidi sfasate sullo schermo (posizione e velocità) sento un "Wow!". È passato il messaggio?

Qualche giorno dopo hanno il programmino che calcola le orbite. Me lo faccio passare, genero un'orbita chiusa e gli mando il grafico.

La massa di Plank

Gli parlo del modello Standard, delle forze elettromagnetiche, deboli e forti. La gravità non è rilevante alle scale di energie che esploriamo al presente. Gli effetti di gravità quantistica diventano importanti alla massa di Plank, circa $10^{19}$GeV (miliardi di elettronvolt, che dovrebbero aver imparato in Scienze, speriamo ...). I nostri acceleratori arrivano oggi a energie di collisione di 13000 GeV. Quindi c'è poca speranza. Ciononostante ci sono fisici teorici che si occupano di gravita quantistica, specialmente nell'ambito delle teorie di stringhe.

Cos'è la massa di Plank? Gli spiego che dalle tre costanti fondamentali, c (la velocità della luce), $h$ (la costante di Plank), e $G$ (la costante di gravitazione universale) si può ricavare una massa, la massa di Plank, unicamente da considerazioni dimensionali. Devo cioè costruire un'espressione in termini di $c$, $h$ e $G$. Propongo loro di farlo come esercizio. Lo fanno dopo qualche pressione. Trovano la formula, ma non c'è il numero ... Insisto ... Mi dicono che non vale la pena perché il valore si trova su internet ... c'è un problema serio con le nuove generazioni.

Le teorie di campo

Mi hanno chiesto qualche chiarimento su cosa sono le teorie di campo. Qui si va sul difficile! Non hanno fatto nulla riguardo ai campi a scuola. Hanno imparato la definizione del campo gravitazionale, ma nell'ambito della legge di attrazione universale di Newton, che richiede un'azione a distanza. In quell'ambito, il concetto di campo non è veramente utile. Per quanto riguarda la meccanica quantistica, poi hanno qualche vaga nozione su qualche fenomeno associato: l'effetto fotoelettrico, i livelli energetici in chimica, e via dicendo.

Ho raccontato loro che, per via della relatività, l'azione a distanza, come quella sancita dalla legge di Newton, non può valere esattamente. Se ho due masse poste ad una certa distanza l'una dall'altra, eserciteranno reciprocamente una forza d'attrazione data dalla legge di Newton. Ma se sposto una delle due masse, la seconda non può avvertire il cambiamento della forza prima del tempo che la luce impiega a coprire la loro distanza, perché non possono esistere segnali che si trasmettono più velocemente della luce. Quindi, associata ad ogni forza, ci deve essere una qualche proprietà dello spazio che si può propagare autonomamente. Questa proprietà noi la chiamiamo "campo". La propagazione di una perturbazione del campo è l'onda associata.

E qui viene la parte difficile: a causa della meccanica quantistica, l'esistenza di un onda implica l'esistenza di una particella, il "quanto" del campo. Così al campo elettromagnetico è associato il fotone, il suo quanto; associato al campo gravitazionale c'è il gravitone. Associati ai campi delle forze deboli sono associati i bosoni vettori $W$ e $Z$, e a quello delle forze "forti" i gluoni. Ma campi e particlelle si ritrovano anche altri contesti. Alle forze elastiche in un solido sono associate le onde acustiche e i loro quanti, i fononi.

Ma perché se ci sono campi e onde ci sono anche particelle? Qui mi avventuro nel difficile. Faccio l'esempio di una corda vibrante, come una corda di chitarra. In altre parole semplifico il problema andando a considerare campi e onde che si propagano in una sola dimensione, invece di tre. Questo modo di affrontare i problemi semplificandoli radicalmente è tipico della fisica teorica!

Chi suona la chitarra ha familiarità con le armoniche, che corrispondono alle vibrazioni della corda nelle animazioni qui sotto

In primo luogo gli faccio notare come queste oscillazioni possono essere viste come la somma di due onde che viaggiano in senso opposto, come nella figura qui sotto: l'onda blu è la somma dell'onda rossa e verde (nel senso che il valore della $y$ si somma).

In altre parole, ogni armonica della corda corrisponde ad un'onda che si riflette tra il ponticello e il capotasto della chitarra. D'altro canto, ogni armonica della corda obbedisce alla dinamica dell'oscillatore armonico! Anche questo è un concetto non facilissimo, ma si può cercare di spiegarlo con poco lavoro. Lo faccio dopo. Intanto gli faccio notare che un'oscillatore armonico è un sistema legato, come l'atomo di idrogeno. Per via della meccanica quantistica ha dei livelli energetici discreti, come l'atomo di idrogeno (l'hanno studiato a Scienze). Si può dimostrare che l'energia dei suoi livelli è data da $n h \nu$ (a meno di una costante addittiva che per ora preferisco nascondere), dove $n$ è un intero che va dallo 0 in su, $h$ è la costante di Plank, e $\nu$ è la frequenza dell'oscillatore secondo la meccanica classica (i nostri giovani stagisti hanno studiato l'oscillatore armonico a Fisica, al Liceo). E quindi l'energia di ogni onda (cioè di ogni armonica) cambia in modo discreto quando $n$ cresce. È un multiplo intero di $h \nu$. Diciamo quindi che se l'armonica si trova al livello energetico $n$, ci sono $n$ "quanti" dell'onda. Quindi l'onda, per via della meccanica quantistica, si comporta come un insieme di particelle. Ogni volta che si cerca di studiare onde a bassissima intensità, ci si accorge che sono composte da grani di energia di dimensione $h \nu$, i "quanti". Qui non posso fare a meno di divagare. Hanno sentito parlare del principio di equipartizione dell'energia. Cerco di spiegargli che in meccanica quantistica non può funzionare: la catastrofe ultravioletta, il problema del calore specifico dei solidi ... mi accorgo che sto esagerando. Rimetto i piedi per terra, e cerco di fargli capire perché le armoniche di una corda vibrante possono essere considerate degli oscillatori armonici indipendenti. Almeno questo dovrebbe essere accessibile.

Una corda di due atomi

Linearità

L'equazione dell'oscillatore armonico è $m a = - k x$, dove $m$ è la massa, $a$ è l'accelerazione, $k$ è la costante elastica, e $x$ è la coordinata di posizione. Se $x_1 (t)$ e $x_2 (t)$ sono tutte e due soluzioni dell'equazione dell'oscillatore armonico, allora anche $x_3 (t) = x_1 (t) + x_2 (t)$ è una soluzione. Questo segue dalle leggi sulla composizione dei moti che hanno fatto al Liceo. Perciò:

$$x_3 (t) = x_1 (t) + x_2 (t) \quad \Longrightarrow \quad a_3 (t) = a_1 (t) + a_2 (t) .$$

Basta mettere $a_3$ e $x_3$ nelle equazioni del moto, e si vede che le soddisfa se entrambe $x_1, a_1$ e $x_2, a_2$ le soddisfano.

I cavalli sferici

Se un problema è molto complesso, i fisici teorici lo affrontano semplificandolo drasticamente. Giorgio Parisi, in un seminario sui vetri dato all'Accademia dei Lincei, ha fatto l'esempio di un fisico che affronta il problema della corsa dei cavalli. In primo luogo, al fine di semplificare il problema, fa l'approssimazione dei cavalli sferici.

Una corda vibrante è descrivibile con un campo in una sola dimensione di spazio. Lo stato fisico della corda è carattedizzato dal suo spostamento trasversale in funzione di una sola coordinata, e dalla velocità trasversale dei suoi punti. Ma di punti ne ha un'infinità, tanti quanti sono i numeri reali. Facciamo un'ulteriore semplificazione, assumendo che i punti siano in realtà un insieme discreto.

Cavallo sferico con una zampa.

Cominciamo a considerare una corda che consiste di un solo punto mobile. I due estremi della corda sono fissi, e il punto mobile è soggetto ad una forza elastica, proporzionale al suo spostamento rispetto ai punti fissi. I punti gli indichiamo con i suffissi 1, 2 e 3, dove 1 e 3 sono i punti fissi, e 2 è il punto mobile. Immaginiamo un riferimento cartesiano, i punti 1, 2 e 3 sono sull'asse $x$, e si possono muovere solo nella direzione $y$. Richiediamo che i due punti vicini al 2, cioè 1 e 3 esercitino una forza di richiamo proporzionale alle distanze in $y$ rispetto ai punti vicini

$$m a_2 = - k (y_2 - y_1) - k (y_2 - y_3) .$$

Prendiamo $y_1 = y_3 = 0$, otteniamo

$$m a_2 = - 2 k y_2 .$$

Questa è l'equazione di un oscillatore armonico con frequenza angolare $\omega = \sqrt{2 k / m}$. Il suo moto è rappresentato nella figura

Ricorda molto lontanamente una corda vibrante. Per avvicinarci di più alla realtà consideriamo un oscillatore con due punti mobili.

Cavallo sferico con due zampre

Questa volta abbiamo due equazioni del moto, una per ciascun punto mobile:

$$m a_2 = - k (y_2 - y_1) - k (y_2 - y_3), \quad m a_3 = - k (y_3 - y_2) - k (y_3 - y_4),$$

dove ancora prendiamo $y_1 = y_4 = 0$. Anche questo sistema ha la proprietà di linearità. Se $y'_2 (t)$, $y'_3 (t)$ e $y''_2 (t)$, $y''_3 (t)$ sono soluzioni dell'equazioni del moto, anche $y'''_2 = y'_2 + y''_2$ e $y'''_3 = y'_3 + y''_3$ è una soluzione. Ma questa volta risolvere le equazioni del moto è un filino più difficile. Proviamo a prendere la somma e la differenza membro a membro delle due equazioni. Otteniamo:

$$\begin{eqnarray*} m (a_2 + a_3) & = & - k (y_2 + y_3)\\ m (a_2 - a_3) & = & - 3 k (y_2 - y_3) . \end{eqnarray*}$$

Sono due oscillatori indipendenti. Chiamiamo $y_+ = y_2 + y_3$ e $y_- = y_2 - y_3$. Abbiamo ancora per la composizione dei moti che $a_+ = a_1 + a_2$ e $a_- = a_1 - a_2$. Perciò

$$m a_+ = - k x_+, \quad m a_- = - 3 k x_- .$$

Le frequenze dei due oscillatori sono $\omega_+ = \sqrt{k / m}$, $\omega_- = \sqrt{3 k / m}$. La soluzione dall'equazioni del moto è data da

$$x_{\pm} = a_{\pm} \sin (\omega_{\pm} t + \varphi_{\pm}),$$

dove le ampiezze $a_{\pm}$ e le fasi $\varphi_{\pm}$ sono costanti arbitrarie. Possiamo mettere $y_2 = (y_+ + y_-) / 2$ e $y_3 = (y_+ - y_-) / 2$ per trovare la lagge del moto degli spostamenti $y_2$ e $y_3$. Ma è interessante vedere i moti dei due oscillatori indipendenti, mettendo $a_- = 0$ troviamo

$$y_2 = y_3 = \frac{y_+}{2},$$

e mettendo invece $a_- = 0$ otteniamo

$$y_2 = - y_3 = \frac{y_-}{2} .$$

I due modi di oscillazione sono rappresentati nelle figure qui sotto, confrontati alle prime due armoniche di una corda vibrante.

In effetti si comincia a vedere qualche somiglianza. Nella corda vibrante il secondo armonico ha una frequenza doppia del primo. Nel nostro modellino a due atomi la frequenza del secondo armonico è $\sqrt{3}$ volte maggiore del primo, cioè 1.73, invece di due. Quindi abbiamo predetto la frequenza del secondo armonico con un errore del 15%. Niente male, vista la grossolana approssimazione che abbiamo fatto.

Ma una corda vibrante ha altri armonici:

È chiaro oramai che se avessimo tre punti liberi, arriveremmo a riprodurre i primi tre modi, e più punti mettiamo più armonici possiamo riprodurre.

E qui generalizziamo: una corda vibrante può essere vista come un insieme di oscillatori indipendenti. Il più generale moto di una corda vibrante può essere visto come sovrapposizione di moti di oscillatori indipendenti, grazie alla linearità.

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Una corda di due atomi

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The translation was initiated by Paolo Nason on 2016-06-24